Grupo diedral

Un \(n\)-ágono regular tiene \(n\) rotaciones, \(e,r,\dots,r^{n-1}\), y \(n\) reflexiones, \(s,sr,\dots,sr^{n-1}\), así que \(|D_n|=2n\). Cada elemento se escribe de forma única como \(r^k\) o \(sr^k\) con \(0\le k<n\). Las rotaciones forman el subgrupo cíclico \(\langle r\rangle\), de índice \(2\) y por tanto normal. Algunos autores escriben \(D_{2n}\) para este mismo grupo, de orden \(2n\); conviene fijarse en la convención de cada libro.

La regla de cálculo es \(sr^k=r^{-k}s\): al pasar una reflexión de un lado al otro de una rotación, esta se invierte. Por eso \(D_n\) no es abeliano para \(n\ge3\), mientras que \(D_2\), el grupo de Klein, sí lo es. Todas las reflexiones tienen orden \(2\), y \(r^k\) tiene orden \(n/\mathrm{mcd}(n,k)\).

Ejemplo guía: \(D_3\) son las simetrías de un triángulo equilátero; permuta los tres vértices y se identifica con \(S_3\). \(D_4\), de orden \(8\), tiene centro \(\{e,r^2\}\); en general el centro es trivial si \(n\) es impar y es \(\{e,r^{n/2}\}\) si \(n\) es par. Un error típico es olvidar que \(rs\ne sr\): el orden de los factores importa.

Todo grupo diedral es un subgrupo de \(S_n\), pues cada simetría permuta los vértices. Junto con los grupos simétricos y alternantes sirve de banco de pruebas para subgrupos normales, cocientes y acciones, y aparece más adelante en la clasificación de grupos de orden pequeño.