Clases laterales y cocientes · Definición

Subgrupo normal

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Antes de empezar necesitas conocer

No todo subgrupo se puede «dividir» del grupo; los normales son los que permiten hacerlo, y de ahí nace la idea de cociente.

Definición

Un subgrupo normal es un subgrupo \(N\) de un grupo \(G\) que coincide con todos sus conjugados por elementos \(g\in G\).

\[gNg^{-1}=N\ \ \forall g\in G\]

La condición \(gNg^{-1}=N\) no exige que cada \(n\in N\) quede fijo, solo que el conjunto completo se conserve: \(gng^{-1}\) puede ser otro elemento de \(N\). Se escribe \(N\trianglelefteq G\). Es equivalente a \(gN=Ng\) para todo \(g\), es decir, a que las clases laterales izquierdas y derechas coincidan; en general \(gN\) y \(Ng\) son distintas.

Hay casos que siempre funcionan: \(\{e\}\) y \(G\) son normales; en un grupo abeliano todo subgrupo lo es; todo subgrupo de índice 2 lo es; el centro lo es; y el núcleo de cualquier homomorfismo también (de hecho todo subgrupo normal es núcleo de algún homomorfismo, como se verá con el grupo cociente). Un subgrupo que sea el único de su orden es normal, pues conjugar lo manda a otro subgrupo del mismo orden.

El ejemplo que conviene recordar es \(S_3\): el subgrupo \(A_3=\langle(1\,2\,3)\rangle\) es normal, pero \(\langle(1\,2)\rangle\) no, porque conjugándolo con \((1\,3)\) se obtiene \(\langle(2\,3)\rangle\). La normalidad no es transitiva: \(N\trianglelefteq H\) y \(H\trianglelefteq G\) no implican \(N\trianglelefteq G\), aunque sí vale que si \(N\trianglelefteq G\) y \(N\subseteq H\), entonces \(N\trianglelefteq H\).

Un error común es confundir «normal» con «conmutar elemento a elemento»: que \(gNg^{-1}=N\) no significa \(gn=ng\). Esa condición más fuerte describe al centro. Además, la intersección de normales es normal, pero la unión de dos normales casi nunca es siquiera un subgrupo.

Para pensar

¿Es \(A_3\) normal en \(S_3\)? ¿Y en \(S_4\) el subgrupo \(\langle(1\,2)\rangle\)?

\(A_3\) sí, pues tiene índice 2. \(\langle(1\,2)\rangle\) no es normal en \(S_4\): conjugándolo con \((1\,3)\) se obtiene \(\langle(2\,3)\rangle\).

Si se sabe que \(gNg^{-1}\subseteq N\) para todo \(g\), ¿basta para concluir que \(N\) es normal?

Sí: aplicada a \(g^{-1}\) da \(g^{-1}Ng\subseteq N\), y conjugando por \(g\) se obtiene \(N\subseteq gNg^{-1}\), de donde \(gNg^{-1}=N\).

Ejercicios 10

  1. Sea \(G\) un grupo abeliano y \(N\) un subgrupo de \(G\). ¿Qué se puede asegurar sobre \(N\)?
  2. En \(S_3\), ¿cuál de estos subgrupos es normal?
  3. En \(S_3\), con \(g=(1\,3)\), ¿cuánto vale \(g\,(1\,2)\,g^{-1}\)?
  4. Si \(N\) es un subgrupo de \(G\) con \([G:N]=2\), ¿qué se puede asegurar?
  5. En \(S_3\), ¿cuántos subgrupos distintos de la forma \(g\langle(1\,2)\rangle g^{-1}\) hay cuando \(g\) recorre \(S_3\)?
  6. ¿Cuál de estas condiciones equivale a que \(N\) sea un subgrupo normal de \(G\)?
  7. Sea \(H=\langle(1\,2)\rangle\) en \(S_3\). ¿Con cuál \(g\) se comprueba que \(H\) no es normal?
  8. Sea \(N\) normal en \(G\) y \(H\) un subgrupo con \(N\subseteq H\subseteq G\). ¿Qué se cumple siempre?
  9. Un subgrupo \(H\) de \(G\) es el único subgrupo de \(G\) con \(|H|\) elementos. ¿Qué se concluye?
  10. ¿Cuántos subgrupos normales tiene \(S_3\)?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §3.1
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 9
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §2.6
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §14