Polinomios y cuerpos · Definición

Algoritmo de la división de polinomios

álgebra modernapolinomios

Antes de empezar necesitas conocer

Es la versión polinomial de la división con residuo de los enteros, y la herramienta que vuelve a \(F[x]\) un anillo con aritmética tan cómoda como la de \(\mathbb{Z}\).

Definición

Dados polinomios \(f\) y \(g\neq 0\) sobre un cuerpo \(F\), existen un único cociente \(q\) y un único residuo \(r\) que cumplen la igualdad de abajo, con \(r\) nulo o de grado menor que el de \(g\).

\[f=gq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ \deg r<\deg g\]

El procedimiento es el de la escuela: se divide el término principal de \(f\) entre el de \(g\), se resta ese múltiplo de \(g\) y se repite con lo que queda, hasta que el grado del resto baje del de \(g\). Cada paso necesita dividir coeficientes principales, y por eso se pide un cuerpo. Por ejemplo, \(x^3-2x^2+x-5=(x-2)(x^2+1)-3\): el cociente es \(x^2+1\) y el residuo es \(-3\).

La unicidad sale de comparar grados: si hubiera dos divisiones, su diferencia daría un múltiplo no nulo de \(g\) con grado menor que \(\deg g\), absurdo. El mismo argumento funciona sobre cualquier anillo conmutativo mientras el coeficiente principal de \(g\) sea una unidad; sin eso puede fallar, como al dividir \(x^2\) entre \(2x\) en \(\mathbb{Z}[x]\).

Un caso especial muy usado es dividir entre \(x-a\): el residuo es la constante \(f(a)\), y de ahí salen el teorema del residuo (\(f(a)=0\) si y solo si \(x-a\) divide a \(f\)) y la cota de que un polinomio de grado \(n\) tiene a lo sumo \(n\) raíces en un cuerpo. El algoritmo también permite calcular máximos comunes divisores en \(F[x]\) aplicando la división repetidamente, y es el modelo del siguiente concepto: el dominio euclidiano.

Para pensar

Si \(f\) tiene grado 5 y \(g\) grado 2, ¿qué grado tiene el cociente?

Grado 3: el término principal de \(f\) es el de \(gq\), así que \(\deg q=\deg f-\deg g\).

¿Por qué \(x-a\) divide a \(f\) exactamente cuando \(f(a)=0\)?

Al dividir, \(f=(x-a)q+c\) con \(c\) constante; evaluando en \(a\) resulta \(c=f(a)\), que es cero si y solo si el residuo es nulo.

Ejercicios 10

  1. Al dividir \(x^{3} - 2 x^{2} + x - 5\) entre \(x-2\) en \(\mathbb{Q}[x]\), ¿cuánto vale el residuo?
  2. Calcula el cociente de dividir \(2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 4\) entre \(x+1\) en \(\mathbb{Q}[x]\).
  3. Al dividir \(f\) entre un polinomio \(g\) de grado 3 sobre un cuerpo, ¿qué se sabe del residuo \(r\)?
  4. Sobre \(\mathbb{Q}\), ¿cuál es la división de \(x^{4} + 1\) entre \(x^{2} + x + 1\)?
  5. En \(\mathbb{Z}_5[x]\), ¿cuáles son el cociente \(q\) y el residuo \(r\) de dividir \(x^{3} + 2 x + 1\) entre \(2 x + 3\)?
  6. ¿Cuál es el residuo de dividir \(x^{101}+x^2+1\) entre \(x+1\) en \(\mathbb{Q}[x]\)?
  7. En \(\mathbb{Z}[x]\), se quiere dividir \(x^2\) entre \(2x\) con \(r=0\) o \(\deg r<1\), y \(q,r\in\mathbb{Z}[x]\). ¿Qué ocurre?
  8. Calcula el residuo de dividir \(x^{5} + 3 x^{3} - x + 2\) entre \(x^{2} + 1\) en \(\mathbb{Q}[x]\).
  9. En la prueba de unicidad, si \(f=gq_1+r_1=gq_2+r_2\) con \(q_1\ne q_2\), ¿qué contradicción aparece?
  10. En \(\mathbb{Z}_3[x]\), ¿cuántos residuos distintos son posibles al dividir entre un polinomio de grado 2?

Después de esto

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §9.2
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 16
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §3.9
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §23
  • Serge Lang, Algebra, Revised 3rd edition, Springer, 2002. cap. IV §1