Divisor de cero

Los divisores de cero aparecen cuando el producto de dos elementos no nulos se anula. En \(\mathbb{Z}_6\) se tiene \(2\cdot3=0\), de modo que 2 y 3 son divisores de cero; en \(\mathbb{Z}_7\), en cambio, no hay ninguno. En general, en \(\mathbb{Z}_n\) un elemento \(a\neq0\) es divisor de cero exactamente cuando \(\gcd(a,n)>1\), y es unidad cuando \(\gcd(a,n)=1\): todo elemento no nulo es una cosa o la otra.

Una unidad nunca es divisor de cero, porque si \(uv=0\) basta multiplicar por \(u^{-1}\) para obtener \(v=0\). En un anillo finito conmutativo con identidad vale el recíproco: todo elemento no nulo es unidad o divisor de cero. Fuera de lo finito no siempre ocurre, pues en \(\mathbb{Z}\) el número 2 no es unidad y tampoco divisor de cero.

El efecto práctico es la cancelación. Si \(a\) no es divisor de cero y \(ab=ac\), entonces \(a(b-c)=0\) obliga a \(b=c\); si lo es, se pierde: en \(\mathbb{Z}_8\) se tiene \(4\cdot1=4\cdot3\) sin que \(1=3\). Un dominio de integridad es justamente un anillo conmutativo con identidad sin divisores de cero, y es el terreno natural para factorizar y resolver ecuaciones polinomiales.

Cuidado con dos errores típicos: el cero no se llama divisor de cero por convención (la definición pide \(a\neq0\)), y la existencia de divisores de cero no exige que el anillo sea no conmutativo: ya \(\mathbb{Z}_6\) los tiene. En las matrices \(2\times2\), productos como \(E_{11}E_{22}=0\) los generan sin esfuerzo.