Signo de una permutación

Que el signo esté bien definido es un teorema: una permutación puede escribirse de muchas formas como producto de transposiciones, pero el número de factores siempre tiene la misma paridad. Una prueba usa el producto \(\prod_{i<j}(x_j-x_i)\), que cambia de signo con cada transposición de las variables.

Lo esencial es que el signo es multiplicativo: \(\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)\). Dicho de otro modo, \(\operatorname{sgn}\colon S_n\to\{\pm1\}\) es un homomorfismo, y también \(\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})=\operatorname{sgn}(\sigma)\). Las permutaciones pares forman el núcleo, el grupo alterno \(A_n\), que tiene índice 2 y por tanto \(n!/2\) elementos para \(n\ge2\).

Para calcularlo se descompone en ciclos disjuntos: un ciclo de longitud \(k\) tiene signo \((-1)^{k-1}\). Así, \((1\ 2)(3\ 4\ 5)\) tiene signo \((-1)(+1)=-1\). Un error común es creer que los ciclos de longitud par son pares; ocurre al revés.