Grupo cíclico

Hay exactamente dos modelos. El grupo \((\mathbb{Z},+)\) es cíclico infinito, generado por 1 (y también por \(-1\)). El grupo \((\mathbb{Z}_n,+)\) es cíclico de orden \(n\); en notación multiplicativa se escribe \(\{e,g,\dots,g^{n-1}\}\) con \(g^n=e\). Todo grupo cíclico es isomorfo a uno de los dos, de modo que, salvo el nombre de sus elementos, solo hay un grupo cíclico de cada orden. Otros ejemplos aparecen disfrazados, como \((\mathbb{Z}_7^*,\cdot)\), que está generado por 3.

Un grupo cíclico siempre es abeliano, porque las potencias de \(g\) conmutan. El recíproco es falso: el grupo de Klein, de orden 4, es abeliano y ningún elemento suyo tiene orden 4. Además, todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico: si \(H\ne\{e\}\), lo genera la menor potencia positiva de \(g\) que contiene.

Sea \(G=\langle g\rangle\) de orden \(n\). Entonces \(g^k\) tiene orden \(n/\gcd(n,k)\), de modo que \(g^k\) es otro generador exactamente cuando \(\gcd(n,k)=1\), y hay \(\varphi(n)\) generadores. Además, por cada divisor \(d\) de \(n\) existe un único subgrupo de orden \(d\), el generado por \(g^{n/d}\), y no hay más subgrupos. Esto convierte los subgrupos de \(\mathbb{Z}_n\) en la lista de divisores de \(n\).

Un grupo cíclico de orden primo \(p\) no tiene subgrupos propios y cualquier elemento distinto del neutro lo genera; ése es el punto de partida para el teorema de Lagrange y, más adelante, para la clasificación de los grupos abelianos finitos, que se descomponen en piezas cíclicas.