Anillo de polinomios

Un polinomio es una expresión formal: dos polinomios son iguales exactamente cuando coinciden todos sus coeficientes. Esto lo distingue de la función que define. En \(\mathbb{Z}_2[x]\), los polinomios \(x^2\) y \(x\) son distintos, aunque como funciones den lo mismo en \(0\) y en \(1\). Por eso se escribe \(R[x]\) y se habla de la indeterminada \(x\), no de una variable.

El grado de un polinomio no nulo es el mayor exponente con coeficiente no nulo. Siempre \(\deg(f+g)\le\max(\deg f,\deg g)\), y si el coeficiente principal de \(f\) por el de \(g\) no es cero, entonces \(\deg(fg)=\deg f+\deg g\). Eso falla cuando hay divisores de cero: en \(\mathbb{Z}_6[x]\), \((2x+1)(3x+1)=5x+1\) tiene grado 1, no 2.

Las propiedades de \(R\) pasan a \(R[x]\): si \(R\) es conmutativo, \(R[x]\) también; si \(R\) es un dominio de integridad, \(R[x]\) también, y sus unidades son las de \(R\). Cuando \(R\) no es dominio puede haber unidades inesperadas: en \(\mathbb{Z}_4[x]\), \(1+2x\) es su propio inverso. El anillo \(R\) se identifica con los polinomios constantes, y \(R[x,y]=R[x][y]\) construye varias indeterminadas.

Un anillo de polinomios nunca es un cuerpo aunque \(R\) lo sea: \(x\) no tiene inverso, por el argumento del grado. Lo que sí se cumple, cuando \(R=F\) es un cuerpo, es un algoritmo de división, tema del siguiente concepto, y con él los polinomios heredan una aritmética parecida a la de \(\mathbb{Z}\). Además, la evaluación \(f\mapsto f(a)\) es un homomorfismo de anillos, al que se aplica el primer teorema de isomorfismo.