Producto directo de grupos

El neutro de \(G\times H\) es \((e_G,e_H)\) y el inverso de \((g,h)\) es \((g^{-1},h^{-1})\); la asociatividad se hereda de cada factor. Si \(G\) y \(H\) son finitos, \(|G\times H|=|G|\,|H|\). Por ejemplo, en \(\mathbb{Z}_6\times\mathbb{Z}_4\) la suma \((2,3)+(5,2)\) se hace en cada coordenada con su propio módulo y da \((1,1)\).

El producto es abeliano exactamente cuando ambos factores lo son. Además, el orden de un elemento se calcula con el mínimo común múltiplo: \(\operatorname{ord}(g,h)=\operatorname{mcm}(\operatorname{ord}g,\operatorname{ord}h)\). De ahí sale un criterio útil: \(\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\) es cíclico si y solo si \(\gcd(m,n)=1\), y en ese caso es isomorfo a \(\mathbb{Z}_{mn}\). Así \(\mathbb{Z}_3\times\mathbb{Z}_8\cong\mathbb{Z}_{24}\), pero \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\) no es cíclico: todos sus elementos no triviales tienen orden 2.

Cada factor aparece dentro del producto como el subgrupo \(G\times\{e_H\}\) (y análogamente \(\{e_G\}\times H\)), y las proyecciones \((g,h)\mapsto g\) y \((g,h)\mapsto h\) son homomorfismos sobreyectivos. Estos subgrupos son normales, conmutan entre sí y su intersección es trivial, lo que permite reconocer cuándo un grupo dado «es» un producto directo.

Un error común es creer que \(\mathbb{Z}_m\times\mathbb{Z}_n\) siempre es isomorfo a \(\mathbb{Z}_{mn}\): solo ocurre con módulos coprimos. Otro es confundir el producto directo con el cartesiano de conjuntos, sin operación. Más adelante, el teorema de estructura expresará todo grupo abeliano finito como un producto directo de grupos cíclicos.