Primer teorema de isomorfismo para anillos

La función que realiza el isomorfismo es \(\bar\varphi(r+\ker\varphi)=\varphi(r)\). Está bien definida e inyectiva porque \(\varphi(r)=\varphi(s)\) equivale a \(r-s\in\ker\varphi\), es decir, a que \(r\) y \(s\) estén en la misma clase; es sobreyectiva sobre la imagen por construcción, y respeta suma y producto porque \(\varphi\) lo hace.

El núcleo de un homomorfismo de anillos es siempre un ideal de \(R\) (no un subanillo, pues no contiene a 1 salvo que \(\varphi\) sea nulo), y por eso tiene sentido formar \(R/\ker\varphi\). Recíprocamente, todo ideal \(I\) es el núcleo de la proyección \(R\to R/I\); así, los ideales y los núcleos de homomorfismos son exactamente lo mismo.

El caso más usado es \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n\), que da \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n\). Cuando \(\varphi\) es sobreyectivo la imagen es \(S\) y el teorema se lee \(R/\ker\varphi\cong S\), de donde \(|R|=|\ker\varphi|\,|S|\) si \(R\) es finito. La función \(x\mapsto(x\bmod 2,\,x\bmod 3)\) de \(\mathbb{Z}_6\) en \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) es un ejemplo: su núcleo es cero, así que es un isomorfismo.

Un error típico es afirmar que \(R/\ker\varphi\) es isomorfo a \(S\) sin comprobar la sobreyectividad. Este teorema es el análogo del primero para grupos y se usa para identificar cocientes: en la próxima sección, al evaluar polinomios, permitirá ver \(R[x]/(x-a)\cong R\).