p-grupo

Un \(p\)-grupo puede definirse de dos maneras equivalentes: por su orden, que es \(p^n\), o por sus elementos, pues todo elemento tiene orden potencia de \(p\). Una dirección sale de Lagrange (el orden de cada elemento divide a \(p^n\)); la otra es el teorema de Cauchy, que garantiza un elemento de orden \(q\) para cada primo \(q\) que divide a \(|G|\). De la misma forma, todo subgrupo y todo cociente de un \(p\)-grupo vuelve a ser un \(p\)-grupo.

La propiedad central es que el centro de un \(p\)-grupo no trivial no es trivial. Al hacer actuar \(G\) sobre sí mismo por conjugación, el tamaño de cada órbita divide a \(p^n\), y las órbitas de tamaño \(1\) son los elementos del centro; como \(p^n\) es múltiplo de \(p\), también lo es \(|Z(G)|\), luego \(|Z(G)|\ge p\). Más en general, si un \(p\)-grupo actúa sobre un conjunto \(X\), entonces \(|X|\equiv|X^G|\pmod p\), donde \(X^G\) es el conjunto de puntos fijos.

Ejemplos guía: \(\mathbb{Z}_{p^n}\), los grupos \(\mathbb{Z}_p^k\) y el grupo de simetrías del cuadrado, de orden \(8\), son \(p\)-grupos. Los grupos de orden \(p\) son cíclicos, y los de orden \(p^2\) son siempre abelianos (cíclicos o \(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p\)). Con orden \(p^3\) ya aparecen grupos no abelianos, así que no hay que suponer conmutatividad.

Error típico: pensar que un grupo cuyo orden tiene varios primos es un «\(p\)-grupo de algún tipo». Un grupo de orden \(12\) no es \(p\)-grupo, aunque tenga \(2\)-subgrupos y \(3\)-subgrupos; precisamente esos subgrupos máximos son los de Sylow, el tema que sigue.