Isomorfismo de grupos

Si \(\varphi\colon G\to H\) es un isomorfismo, su inversa \(\varphi^{-1}\) también lo es, y la composición de isomorfismos es un isomorfismo; por eso \(\cong\) es una relación de equivalencia. Ejemplos clásicos: \(x\mapsto e^x\) identifica \((\mathbb{R},+)\) con \((\mathbb{R}_{>0},\cdot)\), y \(\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) porque \(\gcd(2,3)=1\).

Un isomorfismo conserva todo lo que se define con la operación: el orden del grupo, el orden de cada elemento, ser abeliano, ser cíclico, el número de subgrupos de cada tamaño. Estos invariantes sirven para probar que dos grupos no son isomorfos: basta que uno tenga una propiedad que el otro no.

Así, \(\mathbb{Z}_4\not\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2\) porque solo el primero tiene un elemento de orden \(4\), y \(\mathbb{Z}_6\not\cong S_3\) porque solo el primero es abeliano. Probar que dos grupos sí son isomorfos exige, en cambio, construir la función \(\varphi\) y comprobar que es biyectiva y respeta la operación.

Un isomorfismo de un grupo en sí mismo se llama automorfismo. Para \(\mathbb{Z}_n\) los automorfismos mandan \(1\) a un generador, así que hay \(\varphi(n)\) (la función de Euler). Clasificar grupos \"salvo isomorfismo\" es el objetivo central de la teoría: hay dos de orden \(4\), uno de orden \(5\) y dos de orden \(6\).