Primer teorema de isomorfismo

La idea es que un homomorfismo \(\varphi:G\to H\) identifica entre sí exactamente a los elementos que difieren por un elemento del núcleo: \(\varphi(a)=\varphi(b)\) equivale a \(a^{-1}b\in\ker\varphi\), es decir, a que \(a\) y \(b\) estén en la misma clase lateral. Por eso la asignación \(a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)\) está bien definida y es inyectiva; es un homomorfismo porque \(\varphi\) lo es, y es sobreyectiva sobre la imagen por construcción.

En la práctica el teorema se usa de dos maneras. Para identificar un cociente: si se encuentra un homomorfismo sobreyectivo \(G\to H\) con núcleo \(N\), entonces \(G/N\cong H\). Así, \(\det:GL_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^*\) da \(GL_2(\mathbb{R})/SL_2(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^*\), y la reducción \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n\) da \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}_n\). O para contar: \(|\operatorname{im}\varphi|=|G|/|\ker\varphi|\), de modo que la imagen de \(x\mapsto 3x\) en \(\mathbb{Z}_{12}\) tiene \(12/3=4\) elementos.

Un caso límite ayuda a fijar las ideas. Si \(\varphi\) es inyectivo, el núcleo es trivial y \(G\cong\operatorname{im}\varphi\): \(G\) vive como subgrupo dentro de \(H\). Si \(\varphi\) es trivial, el núcleo es todo \(G\) y el cociente \(G/G\) es trivial, igual que la imagen. En general la imagen es un subgrupo de \(H\), no necesariamente \(H\): el isomorfismo con \(H\) exige que \(\varphi\) sea sobreyectivo.

El error típico es olvidar que el teorema relaciona el cociente con la imagen, no con el codominio. Otro es creer que \(G\) y \(H\) deben tener el mismo tamaño; solo coinciden \(|G|/|\ker\varphi|\) y \(|\operatorname{im}\varphi|\). Este resultado tiene versiones para anillos y módulos, y es la primera de una familia de teoremas de isomorfismo que organizan la estructura de los cocientes.