Unidad de un anillo

Si \(u\) es una unidad, su inverso \(v\) es único y se escribe \(u^{-1}\). Siempre \(1\) y \(-1\) son unidades, y el cero nunca lo es salvo en el anillo trivial. El producto de dos unidades es unidad, pues \(uv\) tiene inverso \(v^{-1}u^{-1}\), y el inverso de una unidad también lo es; por eso el conjunto \(R^\times\) de unidades es un grupo con la multiplicación. En cambio la suma de unidades no tiene por qué serlo.

Ejemplos guía: en \(\mathbb{Z}\) las unidades son \(\pm1\); en \(\mathbb{Z}_n\), los \(a\) con \(\mathrm{mcd}(a,n)=1\), y su cantidad es \(\varphi(n)\) (por ejemplo, \(\mathbb{Z}_{12}\) tiene cuatro); en \(\mathbb{Z}[i]\) son \(\pm1,\pm i\); y en \(\mathbb{Z}[\sqrt2]\) hay infinitas, como las potencias de \(1+\sqrt2\). Un cuerpo es exactamente un anillo conmutativo donde todo elemento no nulo es unidad.

Error típico: confundir «unidad» con el elemento identidad \(1\). La identidad es una unidad particular, pero un anillo puede tener muchas más. Otro error es pensar que un elemento sin inverso es siempre un divisor de cero; en \(\mathbb{Z}\), el \(2\) no es unidad y tampoco divide a cero. Esa diferencia se estudia en el siguiente concepto, el divisor de cero.

Las unidades son la base de nociones posteriores: dos elementos son asociados cuando difieren por una unidad, un elemento irreducible no puede factorizarse salvo con unidades, y la factorización única se enuncia «salvo unidades». Por eso conviene saber calcularlas en cada anillo concreto.