Grupo simple

Si \(N\) es un subgrupo normal propio de \(G\), el grupo se parte en dos piezas más pequeñas, \(N\) y \(G/N\). Un grupo simple es justamente uno donde esto no puede hacerse, y por eso hace el papel de los números primos: todo grupo finito se arma, mediante una serie de composición, a partir de factores simples, y el teorema de Jordan–Hölder garantiza que esos factores quedan determinados salvo orden.

Entre los grupos abelianos, los simples son exactamente los cíclicos de orden primo \(\mathbb{Z}_p\): en un grupo abeliano todo subgrupo es normal, y por Lagrange solo un orden primo impide subgrupos intermedios. Los ejemplos no abelianos son mucho más escasos y notables: \(A_n\) es simple para todo \(n\ge5\), y \(A_5\), de orden \(60\), es el menor de ellos. Para \(n=3,4\) falla: \(A_3\) es cíclico de orden \(3\) pero \(A_4\) contiene al grupo de Klein como subgrupo normal.

Un criterio útil: si \(G\) es simple y \(\varphi\) es un homomorfismo desde \(G\), su núcleo es normal, luego \(\varphi\) es inyectivo o trivial. Dualmente, \(G/N\) es simple si y solo si \(N\) es un subgrupo normal maximal, lo que da el método para construir series de composición. Error típico: pensar que simple significa «sin subgrupos propios»; \(A_5\) tiene muchos subgrupos, pero ninguno normal.

La clasificación de los grupos simples finitos, completada tras décadas de trabajo de cientos de matemáticos, los reparte en familias infinitas (cíclicos de orden primo, alternantes, grupos de tipo Lie) y veintiséis grupos esporádicos. Los teoremas de Sylow, ya vistos en el curso, son la herramienta con la que se demuestra que ciertos órdenes no pueden dar grupos simples.