Núcleo de un homomorfismo

El núcleo siempre es un subgrupo de \(G\): contiene a \(e_G\), y si \(\varphi(a)=\varphi(b)=e_H\), entonces \(\varphi(ab^{-1})=\varphi(a)\varphi(b)^{-1}=e_H\). Además es cerrado bajo conjugación, propiedad que más adelante lo convertirá en el ejemplo central de subgrupo normal.

El núcleo detecta la inyectividad: \(\varphi\) es inyectivo si y solo si \(\ker\varphi=\{e_G\}\). En efecto, \(\varphi(a)=\varphi(b)\) equivale a \(\varphi(ab^{-1})=e_H\), es decir, a que \(ab^{-1}\) esté en el núcleo. Así, comprobar que un homomorfismo es inyectivo se reduce a una sola ecuación.

Más precisamente, dos elementos tienen la misma imagen exactamente cuando difieren por un elemento del núcleo, de modo que cada valor de la imagen tiene tantas preimágenes como elementos tiene \(\ker\varphi\). Por eso, si \(G\) es finito, \(|G|=|\ker\varphi|\cdot|\operatorname{im}\varphi|\). Por ejemplo, \(x\mapsto x\bmod 4\) de \(\mathbb{Z}_{12}\) en \(\mathbb{Z}_4\) tiene núcleo \(\{0,4,8\}\) e imagen de \(4\) elementos.

Un error típico es confundir el núcleo con la imagen, o buscar el neutro del dominio en lugar del del codominio: en \(x\mapsto e^x\) el neutro de llegada es \(1\), pero el núcleo es \(\{0\}\). El núcleo es la pieza que, junto con las clases laterales, permitirá construir el grupo cociente y enunciar el primer teorema de isomorfismo.