Clase lateral

La clase \(aH\) es una copia trasladada de \(H\): la función \(h\mapsto ah\) es una biyección de \(H\) en \(aH\), así que todas las clases laterales tienen \(|H|\) elementos. En notación aditiva se escribe \(a+H\); por ejemplo, para \(H=\{0,3,6,9\}\) en \(\mathbb{Z}_{12}\), la clase \(1+H\) es \(\{1,4,7,10\}\).

Se cumple que \(aH=bH\) si y solo si \(a^{-1}b\in H\), y que dos clases laterales son iguales o disjuntas. Cada elemento \(a\) está en su propia clase \(aH\) (pues \(e\in H\)), de modo que las clases forman una partición de \(G\): la de la relación de equivalencia \(a\sim b\iff a^{-1}b\in H\). La clase de \(e\) es el propio \(H\).

También existen las clases laterales derechas \(Ha\). En un grupo abeliano coinciden con las izquierdas, pero en general no: en \(S_3\), con \(H=\{e,(1\,2)\}\), las clases \((1\,3)H\) y \(H(1\,3)\) son distintas. Esta diferencia es la que más adelante separa los subgrupos normales del resto.

Repartir \(G\) en clases de igual tamaño es la idea detrás del teorema de Lagrange: si \(G\) es finito, el número de clases por \(|H|\) da \(|G|\). Cuidado con confundir el representante con la clase: muchos elementos distintos \(a\) producen el mismo conjunto \(aH\).