Polinomios y cuerpos · Definición

Dominio euclidiano

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Antes de empezar necesitas conocer

Es el contexto más general donde funciona el algoritmo de Euclides, y la primera clase de dominios que garantiza una factorización en irreducibles tan ordenada como la de los enteros.

Definición

Un dominio de integridad \(D\) con una norma \(N\) (de \(D\setminus\{0\}\) a los enteros no negativos) que permite dividir \(a\) entre \(b\neq0\) con cociente \(q\) y residuo \(r\) nulo o de menor norma que \(b\).

\[a=bq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ N(r)

Los ejemplos básicos son \(\mathbb{Z}\) con \(N(n)=|n|\), el anillo \(F[x]\) sobre un cuerpo con \(N(f)=\deg f\), y los enteros de Gauss \(\mathbb{Z}[i]\) con \(N(a+bi)=a^2+b^2\). En los tres, dividir significa encontrar un residuo "más pequeño" que el divisor. El cociente y el residuo no tienen por qué ser únicos: en \(\mathbb{Z}[i]\), \(7+3i\) se divide entre \(2\) de más de una manera, y basta con que exista una.

La división repetida es el algoritmo de Euclides: \(a=bq_1+r_1\), \(b=r_1q_2+r_2\), y así sucesivamente. Como las normas \(N(r_1)>N(r_2)>\cdots\) son enteros no negativos, el proceso termina, y el último residuo no nulo es un máximo común divisor de \(a\) y \(b\). Siguiendo los pasos hacia atrás se escribe \(\gcd(a,b)=ax+by\), la identidad de Bézout.

La consecuencia estructural central es que todo dominio euclidiano es de ideales principales: un ideal no nulo está generado por cualquiera de sus elementos de norma mínima. El recíproco es falso; existen dominios de ideales principales que no admiten ninguna norma euclidiana. Y \(\mathbb{Z}[x]\), con el ideal \((2,x)\) no principal, queda fuera. Más adelante veremos que todo dominio de ideales principales es de factorización única.

Para pensar

¿Por qué se detiene el algoritmo de Euclides en un dominio euclidiano?

Porque las normas de los residuos sucesivos forman una sucesión estrictamente decreciente de enteros no negativos, que no puede ser infinita.

¿Es \(\mathbb{Z}\) un dominio euclidiano también con la norma \(N(n)=n^2\)?

Sí: \(n^2<m^2\) equivale a \(|n|<|m|\), así que la misma división sirve. La norma de un dominio euclidiano no es única.

Ejercicios 10

  1. En \(\mathbb{Z}\) con \(N(n)=|n|\), ¿qué cociente \(q\) y residuo \(r\) cumplen \(17=5q+r\) con \(0\le r<5\)?
  2. ¿Qué función sirve como norma euclidiana en \(F[x]\), con \(F\) un cuerpo?
  3. En los enteros de Gauss \(\mathbb{Z}[i]\) se usa la norma \(N(a+bi)=a^2+b^2\). ¿Cuánto vale \(N(3+4i)\)?
  4. En \(\mathbb{Z}\), usa el algoritmo de Euclides para calcular \(\gcd(252,198)\).
  5. En \(\mathbb{Q}[x]\), ¿cuál es el máximo común divisor de \(x^3-1\) y \(x^2-1\)?
  6. En \(\mathbb{Z}[i]\) con \(N(a+bi)=a^2+b^2\), ¿cuál es una división válida de \(7+3i\) entre \(2\) (es decir, \(7+3i=2q+r\) con \(r=0\) o \(N(r)<N(2)\))?
  7. En \(\mathbb{Q}[x]\), calcula el máximo común divisor mónico de \(x^{3} - x^{2} + x - 1\) y \(x^{3} + x^{2} + x + 1\).
  8. Si \(D\) es un dominio euclidiano, ¿qué se puede asegurar de sus ideales?
  9. Para probar que un ideal \(I\neq0\) de un dominio euclidiano es principal, ¿qué elemento se toma como generador?
  10. ¿Cuál de estos dominios no es euclidiano?

Referencias

  • David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 2004. §8.1
  • Joseph A. Gallian, Contemporary Abstract Algebra, 9th edition, Cengage, 2017. cap. 18
  • I. N. Herstein, Abstract Algebra, 3rd edition, Wiley, 1996. §3.7
  • John B. Fraleigh, A First Course in Abstract Algebra, 7th edition, Pearson, 2002. §46
  • Serge Lang, Algebra, Revised 3rd edition, Springer, 2002. cap. II §5