Grupo cociente

Los elementos de \(G/N\) son las clases \(aN\), y cada una se trata como un solo objeto. El producto \((aN)(bN)=(ab)N\) está bien definido gracias a que \(N\) es normal: si \(aN=a'N\) y \(bN=b'N\), entonces \(a'b'N=abN\), de modo que el resultado no depende del representante. El neutro es \(N\) y el inverso de \(aN\) es \(a^{-1}N\).

El caso más familiar es \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\): las clases de \(n\mathbb{Z}\) son los residuos módulo \(n\), y sumar clases es la suma modular. Así \(\mathbb{Z}_{12}/\{0,4,8\}\) tiene cuatro elementos y sus clases se suman como residuos módulo 4. En general \(|G/N|=[G:N]=|G|/|N|\) cuando \(G\) es finito.

Los casos extremos sirven de control: si \(N=\{e\}\) el cociente es una copia de \(G\), y si \(N=G\) solo queda una clase, el grupo trivial. Si \(G\) es abeliano, \(G/N\) también; en \(S_3/A_3\) quedan dos elementos, uno por cada «paridad» de permutación.

Cuidado con dos errores frecuentes: pensar que \(G/N\) es un subgrupo de \(G\) (sus elementos son conjuntos, no elementos de \(G\)) y escribir \(G/N\) cuando \(N\) no es normal, caso en que el producto de clases no está bien definido. Más adelante el primer teorema de isomorfismo mostrará que todo cociente aparece como la imagen de un homomorfismo.