Ejercicio · ZW-TEOREMA-VALOR-EXTREMO-019 · ★★★ Avanzado
Sea \(f(x)=x\) si \(0\le x<1\) y \(f(1)=0\), definida en \([0,1]\). ¿Qué hipótesis del teorema falla y qué ocurre?
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- B. \(f\) no es continua en \(1\); no alcanza su supremo \(1\)
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Explicación
El intervalo sí es cerrado y acotado. Falla la continuidad en \(x=1\): \(\sup f=1\) no se alcanza, pues \(f(x)<1\) siempre.
Si \(f\) es continua en un intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), entonces \(f\) alcanza un máximo y un mínimo absolutos en \([a,b]\).
\[f\ \text{continua en }[a,b]\ \Rightarrow\ \exists\,m,M\in[a,b]:\ f(m)\le f(x)\le f(M)\]
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