Ejercicio · ZW-ACCION-DE-GRUPO-008 · ★★☆ Intermedio
En una acción de \(G\) sobre \(X\), ¿cómo es, para cada \(g\in G\), la función \(x\mapsto g\cdot x\) de \(X\) en \(X\)?
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- D. Una biyección
Explicación
Tiene inversa \(x\mapsto g^{-1}\cdot x\), pues \(g^{-1}\cdot(g\cdot x)=x\) y \(g\cdot(g^{-1}\cdot x)=x\). Por tanto es una biyección.
Repasa el concepto: Acción de un grupo
Una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) asigna a cada \(g,h\in G\) y \(x\in X\) un elemento \(g\cdot x\in X\), de modo que la identidad \(e\) no mueve nada y el producto de \(G\) actúa por composición.
\[e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\]
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