Ejercicio · ZW-ACCION-DE-GRUPO-009 · ★★★ Avanzado
\(\mathbb Z_6\) actúa sobre \(\mathbb Z_6\) por \(n\cdot x=x+2n\) (módulo 6). ¿Cuántos valores distintos toma \(n\cdot0\) cuando \(n\) recorre \(\mathbb Z_6\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. 3
Explicación
Los valores \(2n\bmod6\) son \(0,2,4,0,2,4\): solo tres valores distintos.
Repasa el concepto: Acción de un grupo
Una acción de un grupo \(G\) sobre un conjunto \(X\) asigna a cada \(g,h\in G\) y \(x\in X\) un elemento \(g\cdot x\in X\), de modo que la identidad \(e\) no mueve nada y el producto de \(G\) actúa por composición.
\[e\cdot x=x,\qquad (gh)\cdot x=g\cdot(h\cdot x)\]
Más ejercicios de acción de un grupo
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-001 El grupo S_3 actúa sobre X=\1,2,3\ por g· x=g(x). Si g=(1\ 2\ 3), ¿cuánto vale g·1?
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-002 En una acción de G sobre X, ¿cuánto vale e· x para x∈ X?
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-003 ¿Cuál de las siguientes fórmulas define una acción de (mathbb Z,+) sobre mathbb Z?
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-004 Sea S_3 actuando sobre \1,2,3\, con g=(1\ 2\ 3) y h=(1\ 2). Calcula (gh)·1, componiendo de derecha…
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-005 En S_3 actuando sobre \1,2,3\, se tiene g·1=2 con g=(1\ 2\ 3). ¿Cuánto vale g^-1·2?
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-006 El grupo mathbb Z_6 actúa sobre sí mismo por g· x=g+x (módulo 6). Calcula 4·5.
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-007 Sea S_3 actuando sobre sí mismo por conjugación, g· x=gxg^-1. Calcula (1\ 2)·(1\ 2\ 3).
- ZW-ACCION-DE-GRUPO-008 En una acción de G sobre X, ¿cómo es, para cada g∈ G, la función xmapsto g· x de X en X?