En \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), el elemento 6 tiene las factorizaciones \(2\cdot3\) y \((1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\). Como los cuatro factores son irreducibles y no asociados entre sí, ¿qué se concluye?
Hay dos factorizaciones en irreducibles esencialmente distintas, lo que contradice la unicidad. Los factores son irreducibles pues sus normas 4, 9, 6 y 6 no se parten en normas 2 o 3, que no existen.
Un dominio de integridad \(D\) en el que todo elemento \(a\) no nulo y no unidad es producto de irreducibles \(p_i\), y esa factorización es única salvo el orden y los asociados.