Ejercicio · ZW-ELEMENTO-IRREDUCIBLE-005 · ★☆☆ Básico
En \(\mathbb{Z}[i]\) con la norma \(N(a+bi)=a^2+b^2\), ¿cuál de estos elementos es irreducible?
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- C. \(3\)
Explicación
Si \(3=\alpha\beta\), entonces \(N(\alpha)N(\beta)=9\), y ningún elemento tiene norma 3 porque \(a^2+b^2=3\) no tiene solución; así, uno de los factores tiene norma 1 y es unidad. Los otros se descomponen: \(5=(2+i)(2-i)\), \(13=(3+2i)(3-2i)\), \(2=(1+i)(1-i)\).
Repasa el concepto: Elemento irreducible
Un elemento \(p\) no nulo y no unidad de un dominio de integridad \(D\) que no admite factorizaciones propias: en todo producto de dos factores igual a \(p\), uno de ellos es unidad.
\[p=ab\ \Rightarrow\ a\ \text{ o }\ b\ \text{es unidad}\]
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