Ejercicio · ZW-ELEMENTO-IRREDUCIBLE-007 · ★★☆ Intermedio

En \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\), el elemento 2 divide a \(6=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) pero no divide a ninguno de los dos factores. ¿Qué se concluye?

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  • B. Que 2 es irreducible pero no es primo

Explicación

Ya vimos que 2 es irreducible. Un primo que divide a un producto debe dividir a algún factor, y 2 no lo hace, así que no es primo: en este anillo irreducible no implica primo.

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Repasa el concepto: Elemento irreducible

Un elemento \(p\) no nulo y no unidad de un dominio de integridad \(D\) que no admite factorizaciones propias: en todo producto de dos factores igual a \(p\), uno de ellos es unidad.

\[p=ab\ \Rightarrow\ a\ \text{ o }\ b\ \text{es unidad}\]

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