Ejercicio · ZW-GRUPO-ABELIANO-FINITAMENTE-GENERADO-004 · ★☆☆ Básico
Descompón \(\mathbb{Z}_{6}\times\mathbb{Z}_{10}\) en factores cíclicos de orden potencia de primo.
Elige una opción.
A \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\) B \(\mathbb{Z}_{4}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\) C \(\mathbb{Z}_{60}\) D \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\) Ver respuesta A. \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{5}\)← Volver a la pregunta
Explicación Se separa cada factor: \(\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3\) y \(\mathbb{Z}_{10}\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_5\). El orden total es \(60\), y el factor \(\mathbb{Z}_2\) aparece dos veces.
Todo grupo abeliano finito \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos \(\mathbb{Z}_{p^k}\), con \(p\) primo y \(k\ge1\), únicos salvo el orden.
\[G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_r^{k_r}}\]
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