Ejercicio · ZW-GRUPO-ABELIANO-FINITAMENTE-GENERADO-003 · ★☆☆ Básico
¿Cuál de estos grupos es isomorfo a \(\mathbb{Z}_{12}\)?
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- B. \(\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{4}\)
Explicación
Como \(\mathrm{mcd}(3,4)=1\), \(\mathbb{Z}_{3}\times\mathbb{Z}_{4}\) es cíclico de orden \(12\). \(\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{6}\) no es cíclico y los otros dos no son abelianos.
Repasa el concepto: Clasificación de grupos abelianos finitos
Todo grupo abeliano finito \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos \(\mathbb{Z}_{p^k}\), con \(p\) primo y \(k\ge1\), únicos salvo el orden.
\[G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_r^{k_r}}\]
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