Ejercicio · ZW-GRUPO-ABELIANO-FINITAMENTE-GENERADO-008 · ★★☆ Intermedio
¿Qué par de grupos es isomorfo?
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- A. \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_9\) y \(\mathbb{Z}_{36}\)
Explicación
Como \(\mathrm{mcd}(4,9)=1\), \(\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_9\cong\mathbb{Z}_{36}\). En los otros pares uno de los grupos es cíclico y el otro no (por ejemplo, \(\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_4\) no tiene elementos de orden \(8\)).
Repasa el concepto: Clasificación de grupos abelianos finitos
Todo grupo abeliano finito \(G\) es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos \(\mathbb{Z}_{p^k}\), con \(p\) primo y \(k\ge1\), únicos salvo el orden.
\[G\cong\mathbb{Z}_{p_1^{k_1}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{p_r^{k_r}}\]
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