Ejercicio · ZW-ORDEN-DE-ELEMENTO-010 · ★★★ Avanzado
En un grupo, \(a\) y \(b\) conmutan, \(a\) tiene orden 4 y \(b\) tiene orden 3. ¿Cuál es el orden de \(ab\)?
Elige una opción.
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- B. 12
Explicación
Como conmutan, \((ab)^n=a^nb^n\), que vale \(e\) solo si \(a^n=b^{-n}\) está en \(\langle a\rangle\cap\langle b\rangle=\{e\}\) (órdenes coprimos); así 4 y 3 dividen a \(n\) y el menor es \(12\). Ejemplo: en \(\mathbb{Z}_{12}\), \(3+4=7\) tiene orden 12.
Repasa el concepto: Orden de un elemento
El orden de un elemento \(a\) de un grupo con neutro \(e\) es el menor entero \(n>0\) con \(a^n=e\); si ninguno cumple eso, se dice que \(a\) tiene orden infinito.
\[|a|=\min\{\,n\ge 1 : a^n=e\,\}\]
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