Sea \(\varphi\colon \mathbb{Z}\to \mathbb{Z}_{4}\times \mathbb{Z}_{6}\), \(\varphi(n)=(n\bmod 4,\ n\bmod 6)\). ¿Cuántos elementos tiene la imagen de \(\varphi\)?
El núcleo es \(4\mathbb{Z}\cap 6\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}\), así que la imagen es isomorfa a \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\), con 12 elementos. No es todo el producto, que tiene 24.
Si \(\varphi\colon R\to S\) es un homomorfismo de anillos con núcleo \(\ker\varphi\), el anillo cociente de \(R\) por \(\ker\varphi\) es isomorfo a la imagen de \(\varphi\).
\[R/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(R)\]
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