Ejercicio · ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-003 · ★☆☆ Básico
El homomorfismo \(\varphi\colon \mathbb{Z}_{12}\to \mathbb{Z}_{4}\), \(\varphi(a)=a \bmod 4\), ¿cuántos elementos tiene en su núcleo?
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. \(3\)
Explicación
El núcleo es \(\{0,4,8\}\), los elementos de \(\mathbb{Z}_{12}\) divisibles entre 4. Coincide con \(12/4=3\), pues \(\varphi\) es sobreyectivo.
Repasa el concepto: Primer teorema de isomorfismo para anillos
Si \(\varphi\colon R\to S\) es un homomorfismo de anillos con núcleo \(\ker\varphi\), el anillo cociente de \(R\) por \(\ker\varphi\) es isomorfo a la imagen de \(\varphi\).
\[R/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(R)\]
Más ejercicios de primer teorema de isomorfismo para anillos
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-001 Sea φcolon ℤ→ ℤ_7 la reducción módulo 7. ¿Cuál es kerφ?
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-002 Sea πcolon ℤ× ℤ→ ℤ dada por π(a,b)=a. ¿A qué anillo es isomorfo (ℤ× ℤ)/kerπ?
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-004 Sea φcolon ℤ_12→ ℤ_4 la reducción módulo 4, que es sobreyectiva. ¿A qué anillo es isomorfo ℤ_12/ker…
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-005 Si φcolon R→ S es un homomorfismo de anillos cualquiera, R/kerφ es isomorfo a:
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-006 Existe un homomorfismo sobreyectivo ℤ_30→ ℤ_5. ¿Cuántos elementos tiene su núcleo?
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-007 Sea φcolon ℤ_6→ ℤ_2× ℤ_3 dada por φ(x)=(xbmod 2,\ xbmod 3). ¿Cuál es su núcleo?
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-008 Sea φcolon ℤ→ ℤ_4× ℤ_6, φ(n)=(nbmod 4,\ nbmod 6). ¿Cuántos elementos tiene la imagen de φ?
- ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-009 ¿Para cuál de estos valores de n existe un homomorfismo sobreyectivo de anillos ℤ_12→ ℤ_n?
← ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-002 ZW-PRIMER-TEOREMA-ISOMORFISMO-ANILLOS-004 →