Sea \(\varphi\colon \mathbb{Z}_{12}\to \mathbb{Z}_{4}\) la reducción módulo 4, que es sobreyectiva. ¿A qué anillo es isomorfo \(\mathbb{Z}_{12}/\ker\varphi\)?
Por el primer teorema de isomorfismo el cociente es isomorfo a la imagen, y la imagen es todo \(\mathbb{Z}_{4}\) por ser sobreyectivo. El cociente tiene 4 elementos, no 3 ni 12.
Si \(\varphi\colon R\to S\) es un homomorfismo de anillos con núcleo \(\ker\varphi\), el anillo cociente de \(R\) por \(\ker\varphi\) es isomorfo a la imagen de \(\varphi\).
\[R/\ker\varphi\;\cong\;\varphi(R)\]
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