Ejercicio · ZW-TEOREMA-ORBITA-ESTABILIZADOR-007 · ★★☆ Intermedio
Para una acción de un grupo finito \(G\) sobre \(X\) y \(x\in X\), ¿cuál afirmación es verdadera?
Elige una opción.
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- C. \(|\mathrm{Orb}(x)|\) divide a \(|G|\)
Explicación
De \(|\mathrm{Orb}(x)|\cdot|\mathrm{Est}(x)|=|G|\) se sigue que \(|\mathrm{Orb}(x)|\) divide a \(|G|\). Las demás fallan: en la acción de \(G\) sobre sí mismo la órbita tiene \(|G|\) elementos y el estabilizador solo uno.
Repasa el concepto: Teorema órbita-estabilizador
Para un grupo finito \(G\) que actúa sobre \(X\) y un \(x\in X\), el tamaño de la órbita de \(x\) es el índice de su estabilizador en \(G\).
\[|\mathrm{Orb}(x)|=[G:\mathrm{Est}(x)]=\frac{|G|}{|\mathrm{Est}(x)|}\]
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