Ejercicio · ZW-TEOREMA-ORBITA-ESTABILIZADOR-003 · ★☆☆ Básico
\(S_4\) actúa sobre \(\{1,2,3,4\}\) por \(g\cdot x=g(x)\). ¿Cuántos elementos tiene el estabilizador de \(1\)?
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- C. \(6\)
Explicación
La órbita de \(1\) es todo \(\{1,2,3,4\}\), de tamaño \(4\), y \(|\mathrm{Est}(1)|=24/4=6\): son las permutaciones de \(\{2,3,4\}\).
Repasa el concepto: Teorema órbita-estabilizador
Para un grupo finito \(G\) que actúa sobre \(X\) y un \(x\in X\), el tamaño de la órbita de \(x\) es el índice de su estabilizador en \(G\).
\[|\mathrm{Orb}(x)|=[G:\mathrm{Est}(x)]=\frac{|G|}{|\mathrm{Est}(x)|}\]
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