Ejercicio · ZW-TEOREMA-ORBITA-ESTABILIZADOR-009 · ★★★ Avanzado
Un grupo de orden \(9\) actúa sobre un conjunto de \(7\) elementos. ¿Cuál es el mínimo de puntos fijos (órbitas de un elemento) que debe haber?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(1\)
Explicación
Los tamaños de órbita dividen a \(9\) y no pasan de \(7\): son \(1\) o \(3\). Con \(7=3a+b\) y \(b\) puntos fijos, \(b=7-3a\equiv1\pmod 3\), así que \(b\ge1\) (se logra con \(a=2\)).
Repasa el concepto: Teorema órbita-estabilizador
Para un grupo finito \(G\) que actúa sobre \(X\) y un \(x\in X\), el tamaño de la órbita de \(x\) es el índice de su estabilizador en \(G\).
\[|\mathrm{Orb}(x)|=[G:\mathrm{Est}(x)]=\frac{|G|}{|\mathrm{Est}(x)|}\]
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