Ejercicio · ZW-TEOREMA-ORBITA-ESTABILIZADOR-005 · ★★☆ Intermedio
\(S_5\) actúa sobre los subconjuntos de \(3\) elementos de \(\{1,2,3,4,5\}\), y todos forman una sola órbita . ¿Cuántos elementos tiene el estabilizador de \(\{1,2,3\}\)?
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A \(12\) B \(10\) C \(6\) D \(60\) Ver respuesta ← Volver a la pregunta
Explicación Hay \(\binom{5}{3}=10\) subconjuntos , así que \(|\mathrm{Est}|=120/10=12\). Directamente: \(3!\cdot2!=12\) permutaciones preservan \(\{1,2,3\}\).
Para un grupo finito \(G\) que actúa sobre \(X\) y un \(x\in X\), el tamaño de la órbita de \(x\) es el índice de su estabilizador en \(G\).
\[|\mathrm{Orb}(x)|=[G:\mathrm{Est}(x)]=\frac{|G|}{|\mathrm{Est}(x)|}\]
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