Ejercicio · ZW-ALGORITMO-DE-DIVISION-POLINOMIOS-007 · ★★☆ Intermedio

En \(\mathbb{Z}[x]\), se quiere dividir \(x^2\) entre \(2x\) con \(r=0\) o \(\deg r<1\), y \(q,r\in\mathbb{Z}[x]\). ¿Qué ocurre?

Elige una opción.

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  • D. No existen tales \(q\) y \(r\)

Explicación

Si \(x^2=2x(ax+b)+r\) con \(a,b\in\mathbb{Z}\), el coeficiente de \(x^2\) daría \(2a=1\), imposible. El algoritmo exige que el coeficiente principal del divisor sea invertible, como ocurre en un cuerpo.

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Repasa el concepto: Algoritmo de la división de polinomios

Dados polinomios \(f\) y \(g\neq 0\) sobre un cuerpo \(F\), existen un único cociente \(q\) y un único residuo \(r\) que cumplen la igualdad de abajo, con \(r\) nulo o de grado menor que el de \(g\).

\[f=gq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ \deg r<\deg g\]

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