Ejercicio · ZW-ALGORITMO-DE-DIVISION-POLINOMIOS-005 · ★☆☆ Básico

En \(\mathbb{Z}_5[x]\), ¿cuáles son el cociente \(q\) y el residuo \(r\) de dividir \(x^{3} + 2 x + 1\) entre \(2 x + 3\)?

Elige una opción.

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  • B. \(q=3 x^{2} + 3 x + 4,\ r=4\)

Explicación

Se comprueba que \((2x+3)(3x^2+3x+4)+4\) vale \(x^3+2x+1\) módulo 5. Los demás pares no cumplen la igualdad. Como \(\mathbb{Z}_5\) es un cuerpo, el cociente y el residuo son únicos.

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Repasa el concepto: Algoritmo de la división de polinomios

Dados polinomios \(f\) y \(g\neq 0\) sobre un cuerpo \(F\), existen un único cociente \(q\) y un único residuo \(r\) que cumplen la igualdad de abajo, con \(r\) nulo o de grado menor que el de \(g\).

\[f=gq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ \deg r<\deg g\]

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