Sea x∈ Z(G) con x^2=e. Para cualquier g∈ G, ¿cuánto vale (gx)^2?

Ejercicio · ZW-CENTRO-DE-GRUPO-009 · ★★★ Avanzado

Sea \(x\in Z(G)\) con \(x^2=e\). Para cualquier \(g\in G\), ¿cuánto vale \((gx)^2\)?

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Como \(x\) conmuta con \(g\), \((gx)^2=gxgx=g\,g\,xx=g^2x^2=g^2e=g^2\).

El centro de un grupo \(G\) es el conjunto \(Z(G)\) de los elementos de \(G\) que conmutan con todos los elementos de \(G\).

\[Z(G)=\{\,z\in G : zg=gz\ \text{para todo } g\in G\,\}\]