Ejercicio · ZW-CUERPO-DE-FRACCIONES-006 · ★★☆ Intermedio
¿Cuál de estos números pertenece a \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- B. \(\dfrac{1+i}{2-i}\)
Explicación
Un elemento de \(\operatorname{Frac}(\mathbb{Z}[i])\) es un cociente \(a/b\) de enteros de Gauss con \(b\neq0\), y \(\tfrac{1+i}{2-i}\) lo es. Los otros tres no se pueden escribir así: \(\sqrt2\), \(\pi\) y \(\tfrac1{\sqrt3}\) no están en \(\mathbb{Q}(i)\).
Repasa el concepto: Cuerpo de fracciones
El cuerpo de fracciones \(\operatorname{Frac}(D)\) de un dominio de integridad \(D\) es el cuerpo formado por las fracciones \(a/b\), con \(a,b\in D\) y \(b\neq0\), donde \(a/b=c/d\) cuando \(ad=bc\).
\[\frac ab=\frac cd\iff ad=bc,\qquad \frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad \frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}\]
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