En \(\mathbb{Z}[i]\) con \(N(a+bi)=a^2+b^2\), ¿cuál es una división válida de \(7+3i\) entre \(2\) (es decir, \(7+3i=2q+r\) con \(r=0\) o \(N(r)<N(2)\))?
Con \(q=4+2i\) se tiene \(2q=8+4i\) y \(r=-1-i\), de norma \(2<N(2)=4\). Los pares con \(q=3\) o \(q=2+i\) suman bien, pero sus residuos tienen norma 10; el último no suma \(7+3i\).
Un dominio de integridad \(D\) con una norma \(N\) (de \(D\setminus\{0\}\) a los enteros no negativos) que permite dividir \(a\) entre \(b\neq0\) con cociente \(q\) y residuo \(r\) nulo o de menor norma que \(b\).