Ejercicio · ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-008 · ★★☆ Intermedio
Si \(D\) es un dominio euclidiano, ¿qué se puede asegurar de sus ideales?
Elige una opción.
Ver respuesta
- D. Todo ideal es principal
Explicación
Un dominio euclidiano es un dominio de ideales principales. Los otros enunciados dirían que \(D\) es un cuerpo, lo que no pasa en \(\mathbb{Z}\) ni en \(\mathbb{Q}[x]\).
Repasa el concepto: Dominio euclidiano
Un dominio de integridad \(D\) con una norma \(N\) (de \(D\setminus\{0\}\) a los enteros no negativos) que permite dividir \(a\) entre \(b\neq0\) con cociente \(q\) y residuo \(r\) nulo o de menor norma que \(b\).
\[a=bq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ N(r)
Más ejercicios de dominio euclidiano
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-001 En ℤ con N(n)=|n|, ¿qué cociente q y residuo r cumplen 17=5q+r con 0≤ r<5?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-002 ¿Qué función sirve como norma euclidiana en F[x], con F un cuerpo?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-003 En los enteros de Gauss ℤ[i] se usa la norma N(a+bi)=a^2+b^2. ¿Cuánto vale N(3+4i)?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-004 En ℤ, usa el algoritmo de Euclides para calcular gcd(252,198).
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-005 En ℚ[x], ¿cuál es el máximo común divisor de x^3-1 y x^2-1?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-006 En ℤ[i] con N(a+bi)=a^2+b^2, ¿cuál es una división válida de 7+3i entre 2 (es decir, 7+3i=2q+r con…
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-007 En ℚ[x], calcula el máximo común divisor mónico de x^3 - x^2 + x - 1 y x^3 + x^2 + x + 1.
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-009 Para probar que un ideal I≠0 de un dominio euclidiano es principal, ¿qué elemento se toma como gene…