Ejercicio · ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-007 · ★★☆ Intermedio
En \(\mathbb{Q}[x]\), calcula el máximo común divisor mónico de \(x^{3} - x^{2} + x - 1\) y \(x^{3} + x^{2} + x + 1\).
Elige una opción.
Ver respuesta
- A. \(x^{2} + 1\)
Explicación
Se factoriza \(f=(x-1)(x^2+1)\) y \(g=(x+1)(x^2+1)\); el factor común mayor es \(x^2+1\). Con el algoritmo: \(g-f=2x^2+2\) divide a ambos.
Repasa el concepto: Dominio euclidiano
Un dominio de integridad \(D\) con una norma \(N\) (de \(D\setminus\{0\}\) a los enteros no negativos) que permite dividir \(a\) entre \(b\neq0\) con cociente \(q\) y residuo \(r\) nulo o de menor norma que \(b\).
\[a=bq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ N(r)
Más ejercicios de dominio euclidiano
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-001 En ℤ con N(n)=|n|, ¿qué cociente q y residuo r cumplen 17=5q+r con 0≤ r<5?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-002 ¿Qué función sirve como norma euclidiana en F[x], con F un cuerpo?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-003 En los enteros de Gauss ℤ[i] se usa la norma N(a+bi)=a^2+b^2. ¿Cuánto vale N(3+4i)?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-004 En ℤ, usa el algoritmo de Euclides para calcular gcd(252,198).
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-005 En ℚ[x], ¿cuál es el máximo común divisor de x^3-1 y x^2-1?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-006 En ℤ[i] con N(a+bi)=a^2+b^2, ¿cuál es una división válida de 7+3i entre 2 (es decir, 7+3i=2q+r con…
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-008 Si D es un dominio euclidiano, ¿qué se puede asegurar de sus ideales?
- ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-009 Para probar que un ideal I≠0 de un dominio euclidiano es principal, ¿qué elemento se toma como gene…