Ejercicio · ZW-DOMINIO-EUCLIDIANO-009 · ★★★ Avanzado
Para probar que un ideal \(I\neq0\) de un dominio euclidiano es principal, ¿qué elemento se toma como generador?
Elige una opción.
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- C. Un elemento no nulo de \(I\) con norma mínima
Explicación
Si \(d\) tiene norma mínima y \(a\in I\), se divide \(a=dq+r\). Entonces \(r=a-dq\in I\) y, si no fuera nulo, tendría norma menor que \(d\), absurdo. Así \(a\in(d)\). La norma máxima ni siquiera existe en general.
Repasa el concepto: Dominio euclidiano
Un dominio de integridad \(D\) con una norma \(N\) (de \(D\setminus\{0\}\) a los enteros no negativos) que permite dividir \(a\) entre \(b\neq0\) con cociente \(q\) y residuo \(r\) nulo o de menor norma que \(b\).
\[a=bq+r,\qquad r=0\ \text{ o }\ N(r)
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