Ejercicio · ZW-GRUPO-SIMPLE-008 · ★★☆ Intermedio
¿Para cuál subgrupo \(N=\langle a\rangle\) de \(\mathbb{Z}_{12}\) es simple el cociente \(\mathbb{Z}_{12}/N\)?
Elige una opción.
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- A. \(\langle 2\rangle\)
Explicación
El cociente \(\mathbb{Z}_{12}/\langle a\rangle\) es cíclico de orden \(\mathrm{mcd}(a,12)\). Es simple solo si ese orden es primo: con \(a=2\) sale \(\mathbb{Z}_2\); con \(a=4\) sale \(\mathbb{Z}_4\), con \(a=6\) sale \(\mathbb{Z}_6\) y con \(a=0\) sale \(\mathbb{Z}_{12}\).
Repasa el concepto: Grupo simple
Un grupo simple es un grupo no trivial \(G\) cuyos únicos subgrupos normales \(N\) son el subgrupo trivial y el propio \(G\).
\[N\trianglelefteq G\ \Rightarrow\ N=\{e\}\ \text{ o }\ N=G\]
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