Ejercicio · ZW-NUCLEO-DE-HOMOMORFISMO-007 · ★★☆ Intermedio
Sea \(\varphi\colon\mathbb{Z}_8\to\mathbb{Z}_8\) con \(\varphi(x)=6x \bmod 8\). ¿Cuántos elementos distintos tiene su imagen?
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- A. 4
Explicación
El núcleo es \(\{0,4\}\), de orden \(2\), y cada valor de la imagen lo toman exactamente \(2\) elementos. La imagen tiene \(8/2=4\) elementos: \(\{0,2,4,6\}\).
Repasa el concepto: Núcleo de un homomorfismo
El núcleo de un homomorfismo de grupos \(\varphi\colon G\to H\) es el conjunto de elementos de \(G\) que \(\varphi\) envía al neutro \(e_H\) de \(H\).
\[\ker\varphi=\{g\in G:\ \varphi(g)=e_H\}\]
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