Ejercicio · ZW-NUCLEO-DE-HOMOMORFISMO-009 · ★★★ Avanzado
Un grupo \(G\) de orden \(15\) se aplica sobre \(\mathbb{Z}_5\) mediante un homomorfismo sobreyectivo. ¿Cuántos elementos tiene el núcleo?
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- B. 3
Explicación
Cada elemento de \(\mathbb{Z}_5\) tiene la misma cantidad de preimágenes, igual al tamaño del núcleo; luego \(15=5\cdot|\ker\varphi|\) y el núcleo tiene \(3\) elementos.
Repasa el concepto: Núcleo de un homomorfismo
El núcleo de un homomorfismo de grupos \(\varphi\colon G\to H\) es el conjunto de elementos de \(G\) que \(\varphi\) envía al neutro \(e_H\) de \(H\).
\[\ker\varphi=\{g\in G:\ \varphi(g)=e_H\}\]
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