Ejercicio · ZW-NUCLEO-DE-HOMOMORFISMO-008 · ★★★ Avanzado
¿Cuántos homomorfismos \(\varphi\colon\mathbb{Z}_{12}\to\mathbb{Z}_{18}\) tienen núcleo con exactamente \(2\) elementos?
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- C. 2
Explicación
Cada uno queda definido por \(a=\varphi(1)\) con \(12a\equiv0\pmod{18}\), o sea \(a\in\{0,3,\dots,15\}\). El núcleo tiene \(2\) elementos si \(a\) tiene orden \(6\): \(a=3\) y \(a=15\).
Repasa el concepto: Núcleo de un homomorfismo
El núcleo de un homomorfismo de grupos \(\varphi\colon G\to H\) es el conjunto de elementos de \(G\) que \(\varphi\) envía al neutro \(e_H\) de \(H\).
\[\ker\varphi=\{g\in G:\ \varphi(g)=e_H\}\]
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