Ejercicio · ZW-ORBITA-Y-ESTABILIZADOR-002 · ★☆☆ Básico
Sea \(G=\langle(1\ 2\ 3)(4\ 5)\rangle\le S_5\) actuando por \(g\cdot x=g(x)\). ¿Cuál es la órbita de \(4\)?
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- B. \(\{4,5\}\)
Explicación
Las potencias del generador mandan \(4\) a \(5\) y \(5\) a \(4\), y nunca lo mezclan con \(1,2,3\). La órbita es \(\{4,5\}\).
Repasa el concepto: Órbita y estabilizador
Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.
\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]
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