Ejercicio · ZW-ORBITA-Y-ESTABILIZADOR-001 · ★☆☆ Básico
El grupo \(S_3\) actúa sobre \(\{1,2,3\}\) por \(g\cdot x=g(x)\). ¿Cuántos elementos tiene la órbita de \(1\)?
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- C. \(3\)
Explicación
Para cada \(k\in\{1,2,3\}\) hay una permutación que manda \(1\) a \(k\), así que la órbita es todo \(\{1,2,3\}\). El \(6\) es el orden de \(S_3\), no el tamaño de la órbita.
Repasa el concepto: Órbita y estabilizador
Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.
\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]
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