Ejercicio · ZW-ORBITA-Y-ESTABILIZADOR-005 · ★☆☆ Básico
Para una acción de \(G\) sobre \(X\) y \(x\in X\), ¿cuál afirmación es siempre verdadera?
Elige una opción.
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- D. El estabilizador de \(x\) es un subgrupo de \(G\)
Explicación
Si \(g,h\) fijan a \(x\), también lo hacen \(gh\) y \(g^{-1}\), y \(e\) lo fija: el estabilizador es un subgrupo de \(G\). La órbita vive en \(X\) y no es todo \(X\) en general.
Repasa el concepto: Órbita y estabilizador
Si un grupo \(G\) actúa sobre un conjunto \(X\), la órbita de \(x\in X\) es el conjunto de todas sus imágenes \(g\cdot x\), y su estabilizador es el subgrupo de los elementos de \(G\) que lo dejan fijo.
\[\mathrm{Orb}(x)=\{g\cdot x : g\in G\},\qquad \mathrm{Est}(x)=\{g\in G : g\cdot x=x\}\]
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